從氫原子到氫分子《張朝陽的物理課》探究雙原子分子光譜問題

　　2月11日12時，《張朝陽的物理課》第二十七期準(zhǔn)時開播。搜狐創(chuàng)始人、董事局主席兼CEO張朝陽坐鎮(zhèn)搜狐視頻直播間，探究雙原子分子氣體。張朝陽先帶著網(wǎng)友復(fù)習(xí)氫原子薛定諤方程，根據(jù)求解得到的能級公式，討論氫原子的光譜。接著研究兩個氫原子組成的氫分子，其電子組成共價鍵將原子核束縛起來，將此勢能在平衡位置展開得到等效的諧振子勢，求解對應(yīng)的薛定諤方程，解得包含振動與轉(zhuǎn)動自由度的能級，通過此分立的能級與選擇定則分析氫分子的光譜。

　　“我們學(xué)了那么多理論，解了那么多方程，現(xiàn)在需要應(yīng)用一下�！睆埑�陽開門見山，“我們跟氫原子作戰(zhàn)了很長時間，今天要講氫分子，解決雙原子分子氣體問題�！�

　　氫原子光譜與里德伯常量

　　他先帶著網(wǎng)友，復(fù)習(xí)氫原子的薛定諤方程，求解得到氫原子的分立能級公式。

　　他說，“有了能級公式，就可以研究氫原子在各能級之間躍遷所產(chǎn)生的光譜�！蓖ㄟ^推導(dǎo)，網(wǎng)友們發(fā)現(xiàn)，從初態(tài)能級到末態(tài)能級躍遷時，發(fā)射出的光線的波數(shù)為：

　　張朝陽解釋說，“系數(shù)R稱為里德伯常量，是量子力學(xué)出現(xiàn)之前，人們根據(jù)實(shí)驗(yàn)測得的氫原子光譜，抽象出的經(jīng)驗(yàn)公式里得到的，這與用薛定諤方程計(jì)算的數(shù)值一致�！�

　　他進(jìn)一步解釋，當(dāng)末態(tài)主量子數(shù)為1時，末態(tài)就是基態(tài)，從各激發(fā)態(tài)到基態(tài)的躍遷形成的光譜就是萊曼系，它處于紫外光譜區(qū)。當(dāng)末態(tài)主量子數(shù)為2時，更高激發(fā)態(tài)到末態(tài)的躍遷形成的光譜是巴爾末系，此線系處于可見光譜區(qū)，所以首先被發(fā)現(xiàn)。以此類推，可以得到其它譜系。

　　解薛定諤方程得到氫原子能級，導(dǎo)出的光譜與實(shí)驗(yàn)相符，重現(xiàn)了量子力學(xué)出現(xiàn)之前的各種線系，他說，“這證明了薛定諤方程的正確性�！�

　　求解氫分子原子核的薛定諤方程

　　討論完氫原子的光譜，再來討論由氫原子組成的氫分子的情況。

　　“氫分子體系比氫原子復(fù)雜多了，它包含了兩個氫原子核與兩個電子，這四個粒子之間兩兩都有庫倫勢相互作用，直接解對應(yīng)的薛定諤方程非常復(fù)雜�！睆埑�陽指出推導(dǎo)的難度所在和解決方案，“不過，由于電子質(zhì)量遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于原子核的質(zhì)量，分子中電子速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于原子核速度，所以當(dāng)研究氫分子的振動和轉(zhuǎn)動時，可以把電子看成一種分布，原子核沉浸在這種云一樣的分布之中，電子云使得原子核之間具有某種有效的相互作用，從而將原子核結(jié)合在一起，這就是所謂的共價鍵。兩個電子是兩個原子所共有的�！�

　　經(jīng)推導(dǎo)發(fā)現(xiàn)，這種相互作用與原子核之間的庫侖力一起，組成總的有效勢能，若振幅較小，可將總有效勢能在平衡位置附近做近似展開，得到諧振子勢能，那么，重復(fù)之前得到的氫原子與諧振子的徑向薛定諤方程的步驟，則可得出對應(yīng)的氫分子中兩原子核的徑向薛定諤方程：

（求解氫分子原子核徑向薛定諤方程）

　　此時，張朝陽先根據(jù)解氫原子與諧振子徑向薛定諤方程的經(jīng)驗(yàn)，定義新的函數(shù)u為：

　　再代入到薛定諤方程之中，并將其化簡為：

　　“這個方程有些難解�！睆埑�陽解釋，由于原子核的振動距離非常小，并且轉(zhuǎn)動能遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于振動能，于是可以近似地將角動量項(xiàng)中的r直接換成平衡距離，若定義新的參數(shù)為：

　　最終，薛定諤方程可以變形為：

　　而這正是上節(jié)課解一維諧振子薛定諤方程時遇到過的微分方程。利用上節(jié)課的結(jié)論，馬上能得到：

　　其對應(yīng)的氫分子原子核的振動與轉(zhuǎn)動能級就可以順勢求出：

（推導(dǎo)氫分子的振動轉(zhuǎn)動能級）

　　氫分子的振動轉(zhuǎn)動光譜：疏中有密，帶狀分布

　　“就像氫原子一樣，一旦求出了氫分子原子核的振動與轉(zhuǎn)動能級，就可以得出其對應(yīng)的光譜�！睆埑�陽引導(dǎo)網(wǎng)友思考，“這里需要引入能級躍遷的選擇定則。”也就是說，原子核躍遷前后的主量子數(shù)變化為±1，角量子數(shù)的變化也為±1。為了方便討論，張朝陽還引入記號B，將氫分子原子核的振動與轉(zhuǎn)動能級寫為：

　　為了更方便地計(jì)算B的具體數(shù)值，張朝陽將B化為如下形式：

　　可以發(fā)現(xiàn)，關(guān)于電荷e的項(xiàng)正是氫原子的基態(tài)能量，這樣代入對應(yīng)數(shù)據(jù)非常容易求得B=59 /cm。 而為了對比轉(zhuǎn)動能級與振動能級的量級差別，同樣計(jì)算振動能級差對應(yīng)的波數(shù)為4000 /cm：

　　這樣，明顯看出轉(zhuǎn)動能級與振動能級有巨大差距。為了更精確地得出能譜，現(xiàn)在考慮以主量子數(shù)和角量子數(shù)標(biāo)記的能級的間距。E(n+1, l+1)與E(n , l)能量相差：

　　E(n+1 , l-1)與E(n , l)能量相差：

　　由于前面已經(jīng)計(jì)算過，振動能級差遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于轉(zhuǎn)動能級差，綜合上述躍遷的能級差，可知?dú)湓�子的光譜結(jié)構(gòu)是以振動能級差為主，但周圍有波數(shù)間距為2B=120 /cm的多條譜線。也就是說，整體上是在間距較大、相對稀疏的振動譜周圍，輔以間距較小、相對密集的轉(zhuǎn)動譜，最終觀察到的是振-轉(zhuǎn)光譜帶。這與實(shí)驗(yàn)觀測得到的氫分子光譜一致，再次證明了薛定諤方程的正確性與強(qiáng)大的功能。

（根據(jù)能級推導(dǎo)氫分子振動與轉(zhuǎn)動光譜）

　　搜狐視頻發(fā)力知識直播 傳播知識玩轉(zhuǎn)科學(xué)

　　自11月5日至今，《張朝陽的物理課》已直播二十多期。在第一、二課中，張朝陽科普了“力”和“速度”，算出馬斯克的飛船和中國空間站每日繞地飛行圈數(shù)；第三、四課和“振動”相關(guān)，科普可見光的基本知識；第五、六課引發(fā)了關(guān)于音速和溫度的大討論；在第七、八、九課重溫經(jīng)典物理學(xué)的兩朵烏云。

　　第十、十一課重點(diǎn)回顧黑體輻射曲線及其應(yīng)用；第十二、十三、十四課嘗試進(jìn)入愛因斯坦的思想世界，推導(dǎo)出著名的公式“E=mc2”，并論證鐘慢尺縮效應(yīng)；第十五課講解了原子的結(jié)構(gòu)和原子核的衰變；第十六課開始進(jìn)入量子力學(xué)，討論光的波粒二象性、康普頓(603798)散射、海森堡不確定性原理，以及薛定諤方程等。

　　從二十多期的物理課可以看出，《張朝陽的物理課》的直播風(fēng)格獨(dú)樹一幟——通過觀察日常生活現(xiàn)象、用網(wǎng)友最熟悉的話題來提升興趣，再以公式推導(dǎo)的方式解釋其背后的物理原理，“透過現(xiàn)象看本質(zhì)”，進(jìn)而反過來解決生活中的類似問題。

　　張朝陽認(rèn)為研究自然界是特別有意思的事情，他希望物理課的受眾能保有好奇心，“在好奇心驅(qū)使下，了解自然界的奧秘，了解我們在這個世界生存的道理”。該課程于每周周五、周日12時在搜狐視頻直播。同時，網(wǎng)友可以在搜狐視頻“關(guān)注流”中搜索“張朝陽”，觀看往期完整視頻回放。

　　除《張朝陽的物理課》外，搜狐視頻也邀請各專業(yè)領(lǐng)域頭部播主入駐，直播科普知識，傳遞價值。北京交通大學(xué)理學(xué)院教師陳征博士玩起了“奇趣的科學(xué)實(shí)驗(yàn)”，走進(jìn)“光的波粒二象性”；康奈爾大學(xué)物理化學(xué)博士包坤，化身“包大人玩科學(xué)”，教普通人看懂2021年諾貝爾獎；還有天體物理博士劉博洋科普“日全食是怎么產(chǎn)生的”，理論物理博士后周思益也開通“弦論世界”直播課等。未來，還將有更多知識播主入駐，一起互動玩轉(zhuǎn)科學(xué)。

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