《張朝陽(yáng)的物理課》繼續(xù)講解氫原子 將哈密頓算符的徑向與角向分離

　　1月21日12時(shí)，《張朝陽(yáng)的物理課》第二十一期開(kāi)播。搜狐創(chuàng)始人、董事局主席兼CEO張朝陽(yáng)坐鎮(zhèn)搜狐視頻直播間，繼續(xù)講解氫原子。為方便求解氫原子薛定諤方程，張朝陽(yáng)將定義在直角坐標(biāo)系上的拉普拉斯算符變換到球坐標(biāo)系，接著討論角動(dòng)量算符的定義與性質(zhì)，尤其是角動(dòng)量算符之間的對(duì)易關(guān)系，最后將哈密頓算符分解為徑向動(dòng)量算符與角動(dòng)量算符，實(shí)現(xiàn)徑向與角向的分離，最終得到完備的算符集。后續(xù)只要解出其共同本征函數(shù)就能解出氫原子的薛定諤方程。

　　“我們目前正處在研究量子力學(xué)的階段，我還是想把解決氫原子問(wèn)題作為最近的課題�！睆埑�陽(yáng)強(qiáng)調(diào)課程重點(diǎn)，“今天繼續(xù)講氫原子。氫是宇宙中最重要的元素，了解氫原子，就會(huì)了解很多重要的分子，比如水。氫原子是一個(gè)三維系統(tǒng)，比一維勢(shì)阱復(fù)雜得多�！�

　　從直角坐標(biāo)到球坐標(biāo)：拉普拉斯算符大變身

　　直播課開(kāi)始，張朝陽(yáng)先帶網(wǎng)友們一起復(fù)習(xí)二體系統(tǒng)定態(tài)薛定諤方程，將其分解為質(zhì)心運(yùn)動(dòng)部分與相對(duì)運(yùn)動(dòng)部分，前者容易求解，且與氫原子結(jié)構(gòu)無(wú)關(guān)；而相對(duì)運(yùn)動(dòng)部分的薛定諤方程，則是討論的重點(diǎn)。

　　張朝陽(yáng)介紹，相對(duì)運(yùn)動(dòng)部分的薛定諤方程中的勢(shì)能項(xiàng)，只與電子和質(zhì)子之間的相對(duì)距離有關(guān)，與他們相對(duì)位置的方向無(wú)關(guān)，也就是說(shuō)，勢(shì)能只與徑向部分有關(guān)，而與角向部分無(wú)關(guān)。因此可以考慮把相對(duì)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能項(xiàng)也分解成徑向與角向兩個(gè)部分。然而在此前，動(dòng)能項(xiàng)中的拉普拉斯算符是定義在直角坐標(biāo)系當(dāng)中的：

　　若將這個(gè)拉普拉斯算符也分解為徑向部分和角向部分，則需要先求出它在球坐標(biāo)系中的表達(dá)式。“根據(jù)球坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系的變換關(guān)系，可以得到球坐標(biāo)系中的導(dǎo)數(shù)算符�！睆埑�陽(yáng)講到。

　　他繼續(xù)推導(dǎo)，與直角坐標(biāo)系不同，球坐標(biāo)系的單位基矢量與坐標(biāo)有關(guān)。他具體計(jì)算了這三個(gè)單位基矢量關(guān)于三個(gè)球坐標(biāo)的各種偏導(dǎo)，并最終得到拉普拉斯算符在球坐標(biāo)系下的形式：

　　從經(jīng)典矢量到算符表示：角動(dòng)量算符及其對(duì)易關(guān)系

　　此外，為了給大家介紹角動(dòng)量的概念，張朝陽(yáng)回到經(jīng)典物理，計(jì)算了單擺的運(yùn)動(dòng)方程，并引入角動(dòng)量的定義：

　　在量子力學(xué)中，直接把對(duì)應(yīng)的動(dòng)量變成動(dòng)量算符即可得到角動(dòng)量算符：

　　在此定義的基礎(chǔ)上，張朝陽(yáng)帶著網(wǎng)友開(kāi)始討論角動(dòng)量算符的對(duì)易關(guān)系，并計(jì)算角動(dòng)量算符在球坐標(biāo)系下的表示。他利用坐標(biāo)與動(dòng)量算符的正則對(duì)易關(guān)系、算符的運(yùn)算規(guī)則，推導(dǎo)出角動(dòng)量算符不同分量之間的對(duì)易關(guān)系。

（角動(dòng)量算符分量之間的對(duì)易關(guān)系）

　　據(jù)此，可以進(jìn)一步證明角動(dòng)量算符的平方與角動(dòng)量算符的z分量對(duì)易：

　　哈密頓量變形式 徑向角向相分離；H、L2、Lz，構(gòu)成完備算符集

　　張朝陽(yáng)繼續(xù)講解，前面已經(jīng)介紹了球坐標(biāo)系、導(dǎo)數(shù)算符在球坐標(biāo)系下的表示，那么，根據(jù)角動(dòng)量算符和動(dòng)量算符的定義，就可以將角動(dòng)量算符也用球坐標(biāo)系表示出來(lái)：

　　并逐步求得角動(dòng)量算符的平方：

　　他還提醒網(wǎng)友，對(duì)比此算符與拉普拉斯算符在球坐標(biāo)系的表示，會(huì)發(fā)現(xiàn)其中關(guān)于角度的部分可以用角動(dòng)量算符的平方表示出來(lái)：

　　“將拉普拉斯算符代回哈密頓算符的動(dòng)能項(xiàng)當(dāng)中，就可以將哈密頓算符用角動(dòng)量算符表示出來(lái)。”張朝陽(yáng)揭曉最終答案。

（哈密頓算符的徑向與角向分離）

　　通過(guò)推導(dǎo)發(fā)現(xiàn)，角向部分被全部吸收到角動(dòng)量算符中，哈密頓量的徑向與角向也因此被分離�！坝捎诮莿�(dòng)量與r無(wú)關(guān)，根據(jù)上述形式的哈密頓量，很容易就能證明角動(dòng)量算符的平方與哈密頓算符對(duì)易。另外前面也證明了角動(dòng)量算符的平方與角動(dòng)量算符的z分量對(duì)易。由此，哈密頓算符、角動(dòng)量算符的平方、角動(dòng)量算符的z分量，這3個(gè)算符就構(gòu)成了一組完備的相互對(duì)易的算符集，” 張朝陽(yáng)說(shuō)，“后續(xù)只要解出其共同本征函數(shù)就能解出氫原子的定態(tài)薛定諤方程�！�

　　“氫原子就是太復(fù)雜，我們不得不用到什么就學(xué)什么�！敝辈ノ猜暎�他再次鼓勵(lì)網(wǎng)友�！拔锢韺W(xué)就是要一步步尋找最簡(jiǎn)化的方案。在這個(gè)過(guò)程中，我們需要什么知識(shí)，就學(xué)什么知識(shí)。”

　　搜狐視頻發(fā)力知識(shí)直播 傳播知識(shí)玩轉(zhuǎn)科學(xué)

　　自11月5日至今，《張朝陽(yáng)的物理課》已直播二十期。在第一、二課中，張朝陽(yáng)科普了“力”和“速度”，算出馬斯克的飛船和中國(guó)空間站每日繞地飛行圈數(shù)；第三、四課和“振動(dòng)”相關(guān)，科普可見(jiàn)光的基本知識(shí)；第五、六課引發(fā)了關(guān)于音速和溫度的大討論；在第七、八、九課重溫經(jīng)典物理學(xué)的兩朵烏云。

　　第十、十一課重點(diǎn)回顧黑體輻射曲線(xiàn)及其應(yīng)用；第十二、十三、十四課嘗試進(jìn)入愛(ài)因斯坦的思想世界，推導(dǎo)出著名的公式“E=mc2”，并論證鐘慢尺縮效應(yīng)；第十五課講解了原子的結(jié)構(gòu)和原子核的衰變；第十六課開(kāi)始進(jìn)入量子力學(xué)，討論光的波粒二象性、康普頓(603798)散射、海森堡不確定性原理，以及薛定諤方程等。

　　從近二十期的物理課可以看出，《張朝陽(yáng)的物理課》的直播風(fēng)格獨(dú)樹(shù)一幟——通過(guò)觀察日常生活現(xiàn)象、用網(wǎng)友最熟悉的話(huà)題來(lái)提升興趣，再以公式推導(dǎo)的方式解釋其背后的物理原理，“透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)”，進(jìn)而反過(guò)來(lái)解決生活中的類(lèi)似問(wèn)題。

　　張朝陽(yáng)認(rèn)為研究自然界是特別有意思的事情，他希望物理課的受眾能保有好奇心，“在好奇心驅(qū)使下，了解自然界的奧秘，了解我們?cè)谶@個(gè)世界生存的道理”。在后續(xù)課程中，他還將繼續(xù)以這種直播風(fēng)格解釋生活中常見(jiàn)的物理現(xiàn)象，讓普通人能夠聽(tīng)懂、專(zhuān)業(yè)人士也能認(rèn)可，激發(fā)科學(xué)學(xué)習(xí)的熱潮。該課程于每周周五、周日12時(shí)在搜狐視頻直播。同時(shí)，網(wǎng)友可以在搜狐視頻“關(guān)注流”中搜索“張朝陽(yáng)”，觀看往期完整視頻回放。

　　除《張朝陽(yáng)的物理課》外，搜狐視頻也邀請(qǐng)多位通識(shí)教育播主，科普知識(shí)，傳遞價(jià)值。北京交通大學(xué)理學(xué)院教師陳征博士玩起了“奇趣的科學(xué)實(shí)驗(yàn)”，走進(jìn)“光的波粒二象性”；康奈爾大學(xué)物理化學(xué)博士包坤，化身“包大人玩科學(xué)”，教普通人看懂2021年諾貝爾獎(jiǎng)；還有天體物理博士劉博洋科普“日全食是怎么產(chǎn)生的”等，近期走紅的理論物理博士后周思益，也來(lái)搜狐視頻開(kāi)通“弦論世界”直播課。未來(lái)，還將有更多知識(shí)播主入駐，一起互動(dòng)玩轉(zhuǎn)科學(xué)。

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